Question

为加快新农村建设步伐，红星镇政府投资c万元生产甲乙两种商品，据测算，投资甲商品x万元，可获得利润P=x万元，投资乙商品x万元可获得利润Q=40

x

万元，如果镇政府聘请你当投资顾问，试问对甲乙两种商品的资金投入分别是多少万元？才能获得最大利润，获得最大利润是多少万元？

Answer 1

分析：设对甲厂投入x万元（0≤x≤c），则对乙厂投入为c-x万元．所得利润为y=x+40

c-x

（0≤x≤c）．利用换元法，令

c-x

=t（0≤t≤

c

），则x=c-t²，可得y=f（t）=-t²+40t+c=-（t-20）²+c+400，通过对

c

与20的大小关系分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：设对甲厂投入x万元（0≤x≤c），则对乙厂投入为c-x万元．
所得利润为y=x+40

c-x

（0≤x≤c），
令

c-x

=t（0≤t≤

c

），则x=c-t²
∴y=f（t）=-t²+40t+c=-（t-20）²+c+400
当

c

≥20，即c≥400时，则t=20，即x=c-400时，y_max=c+400，
当0＜

c

＜20，即0＜c＜400时，则t=

c

，即x=0时，y_max=40 

c

．
答：若政府投资c不少于400万元时，应对甲投入c-400万元，乙对投入400万元，可获得最大利润c+400万元．政府投资c小于400万元时，应对甲不投入，的把全部资金c都投入乙商品可获得最大利润40

c

万元．

点评：本题考查了换元法、二次函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．