Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）是否存在常数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m，n的值；如不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用条件f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，建立方程组，求f（x）的解析式
（Ⅱ）利用二次函数的单调性和值域之间的关系建立，方程关系．

解答：解：（Ⅰ）由题设，方程f （x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=0⇒b=1．（2分）
又f （2）=0，
∴4a+2b=0，∴a=-

1

2

．（4分）
故f （x）=-

1

2

x²+x．（5分）
（Ⅱ）∵f （x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
∴2n≤

1

2

，即 n≤

1

4

．（8分）
而当n≤

1

4

时，f （x）在[m，n]上为增函数，
设满足条件的m，n存在，则

f(m)=2m f(n)=2n

即

- 1 4 m2+m=2m - 1 4 n2+n=2n.

，
又m＜n≤

1

4

，由上可解得 m=-4，n=0．
即符合条件的m，n存在，其值为m=-4，n=0．（13分）

点评：本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的图象和性质，要求熟练掌握二次函数的图象和性质的应用．