Question

已知等比数列{a_n}前n项和为S_n，前n项积为T_n，若S₆=10，T₆=8，则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a6

 

．

Answer 1

分析：易判断q≠1、{

1

an

}为等比数列，利用等比数列求和公式可把

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a6

表示出来，由S₆=10及T₆=8两式作商即可求得答案．

解答：解：设该等比数列的公比为q，由题意知q≠1，
由S₆=10得，

a1(1-q6)

1-q

=10①，
由T₆=8得a₁a₂…a₆=(a1a6)3=8，所以a₁a₆=2，即a12q5=2②，
①÷②得，

1-q6

a1(1-q)q5

=5；
∵

1 an+1

1 an

=

an

an+1

=

1

q

，∴{

1

an

}为等比数列，公比为

1

q

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a6

=

1 a1 (1- 1 q6 )

1- 1 q

=

1-q6

a1(1-q)q5

=5．
故答案为：5．

点评：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题．