Question

已知定义域为R的函数 f(x)=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是奇函数，求函数f（x）的值域．
（3）在（2）的条件下，若对t∈[1，3]，不等式f（2t²+2）+f（-t²-kt+2）≤0 恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=b=1代入即可得到f（x）的解析式，选择一个特殊值，利用奇偶性的定义进行判断，即可得到结论；
（2）根据函数式R上的奇函数，列出方程，求出a和b的值，得到f（x）的解析式，再利用2^x＞0，依次递推，即可求得函数f（x）的值域；
（3）先判断出函数f（x）的单调性，再结合f（x）的奇偶性，即可将不等式f（2t²+2）+f（-t²-kt+2）≤0在恒成立，转化为2t²+2≥t²+kt-2对t∈（1，3]恒成立，利用参变量分离法转化成求最值，求解即可得到k的取值范围．

解答：解：（1）当a=b=1时，f（x）=

-2x+1

2x+1+1

，
∴f（-1）=

1

4

，f（1）=-

1

5

∵f（-1）≠-f（1），
∴当x∈R，f（-x）=-f（x）不恒成立，
故f（x）不是奇函数；
（2）∵f（x）是R上的奇函数，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

，解得

a=2 b=1

，
∴f(x)=

1-2x

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵当x∈R时，2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-

1

2

＜f（x）＜

1

2

，
故f（x）值域是（-

1

2

，

1

2

）；
（3）∵f(x)=

1-2x

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵y=2^x+1在R上单调递增，则y=

1

2x+1

在R上单调递增减，
∴f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

在R上单调递减，
∵不等式f（2t²+2）+f（-t²-kt+2）≤0，
∴f（2t²+2）≤-f（-t²-kt+2）
又∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（2t²+2）≤f（t²+kt-2），
又f（x）是R上的单调递减函数，
∴2t²+2≥t²+kt-2对t∈（1，3]恒成立，即k≤t+

4

t

设g（t）=t+

4

t

≥2

t• 4 t

=4，当且仅当t=2时取等号，
∴g（t）_min=g（2）=4，
∴k≤4，
故k的取值范围为k≤4．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，函数解析式的求解，函数值域的求解，函数恒成立问题的求解．奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称．函数恒成立问题的，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．