题目内容
在椭圆
+
=1内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则M的坐标
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（
，-1）
2
| ||
| 3 |
（
，-1）
．2
| ||
| 3 |
分析：根据椭圆的方程求得椭圆离心率为e=
，右准线方程：x=4．作出椭圆的右准线l，过M点作MN⊥l于N，根据圆锥曲线的统一定义，得
=e=
，所以2|MF|=|MN|，欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．作PN0⊥l于N0，交椭圆于M0，由平几知识可得，当动点M在椭圆上运动，与点M0重合时，|MP|+|MN|取到最小值．最后设出点M0的坐标，代入椭圆方程，解之即可得到使|MP|+2|MF|的值最小的点M的坐标．
| 1 |
| 2 |
| |MF| |
| |MN| |
| 1 |
| 2 |
解答：解：∵椭圆方程为
+
=1，
∴a2=4，b2=3，可得c=
=1
所以椭圆的离心率e=
=
，右准线方程：x=
=4
作出椭圆的右准线l如图，过M点作MN⊥l于N，
根据圆锥曲线的统一定义，得
=e=
，
∴2|MF|=|MN|，所以|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|．
欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值，
过P（1，-1）作PN0⊥l于N0，交椭圆于M0，由平面几何知识可得，当动点M在椭圆上运动，与点M0重合时，|MP|+2|MF|取到最小值．
设M0（x0，-1），代入椭圆方程得
+
=1，解之得x0=
（舍负）
∴使|MP|+2|MF|的值最小的点M的坐标为（
，-1）．
故答案为：（
，-1）．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∴a2=4，b2=3，可得c=
| a2-b2 |
所以椭圆的离心率e=
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
| a2 |
| c |
作出椭圆的右准线l如图，过M点作MN⊥l于N，
根据圆锥曲线的统一定义，得
| |MF| |
| |MN| |
| 1 |
| 2 |
∴2|MF|=|MN|，所以|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|．
欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值，
过P（1，-1）作PN0⊥l于N0，交椭圆于M0，由平面几何知识可得，当动点M在椭圆上运动，与点M0重合时，|MP|+2|MF|取到最小值．
设M0（x0，-1），代入椭圆方程得
| x02 |
| 4 |
| (-1)2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴使|MP|+2|MF|的值最小的点M的坐标为（
2
| ||
| 3 |
故答案为：（
2
| ||
| 3 |
点评：本题以椭圆中求距离和的最小值的问题为载体，着重考查了椭圆的基本概念和圆锥曲线的统一定义等知识点，属于中档题．
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