Question

当x∈[1，9]时，不等式|x²-3x|+x²+32≥kx恒成立，则k的取值范围是

（-∞，13]

．

Answer 1

分析：原不等式等价为

|x2-3x|+x2+32

x

≥k恒成立，设函数f(x)=

|x2-3x|+x2+32

x

，利用分段函数求函数，x∈[1，9]，上的最小值即可解决．

解答：解：因为x∈[1，9]，所以原不等式等价为

|x2-3x|+x2+32

x

≥k恒成立，
设函数f(x)=

|x2-3x|+x2+32

x

，
当1≤x≤3时，f(x)=

|x2-3x|+x2+32

x

=

-x2+3x+x2+32

x

=

3x+32

x

=3+

32

x

，此时此时函数f（x）在[1，3]上单调递减，
所以此时f（x）最小值为f(3)=3+

32

3

=

41

3

．
当3＜x≤9时，f(x)=

|x2-3x|+x2+32

x

=

x2-3x+x2+32

x

=

2x2-3x+32

x

=2x+

32

x

-3≥2

2x? 32 x

-3=16-3=13，
当且仅当2x=

32

x

，即x=4时取等号，所以此时函数f（x）的最小值为f（4）=13．
综上当x∈[1，9]时，函数f（x）的最小值为f（4）=13．
所以要使

|x2-3x|+x2+32

x

≥k恒成立，
则k≤13，即k的取值范围是（-∞，13]．
故答案为：（-∞，13]．

点评：本题考查不等式恒成立问题，将不等式转化为含参数最值问题是解决本题的关键．