Question

（2010•抚州模拟）给出下列命题：
①不等式|x-lgx|＜x+|lgx|成立的充要条件是x＞1；
②已知函数f(x)=

acosx，x≥0 x2-1，x＜0

在x=0处连续，则a=-1；
③当x∈[0，1]时，不等式sin

πx

2

≥kx恒成立，则实数k的取值范围是[0，1]；
④将函数y=tan(ωx+

π

4

)(ω＞0)的图象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后，与函数y=tan(ωx+

π

6

)的图象重合，则ω的最小值为

1

6

．
你认为正确的命题是

①②

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①不等式|x-lgx|＜x+|lgx|?|x-lgx|²＜（x+|lgx|）²?2x（lgx+|lgx|）＞0?

x＞0 lgx＞0

，从而可判断①的正误；
②利用 

lim

x→0+

acosx=a=

lim

x→0-

x2-1=-1，可判断②的正误；
③可令x=

1

2

，k=

2

，有

2

2

≥

2

2

，成立，从而可③的正判断误；
④y=tan(ωx+

π

4

)(ω＞0)

图象按向量 a =( π 6 ，0)平移

y=tan（ω（x-

π

6

）+

π

4

）=tan（ωx+

π

6

）?ω=

1

2

-6k（k∈Z），由此可判断④的正误；

解答：解：∵|x-lgx|＜x+|lgx|?|x-lgx|²＜（x+|lgx|）²?2x（lgx+|lgx|）＞0?

x＞0 lgx＞0

?x＞1，
∴①正确；
∵函数f(x)=

acosx，x≥0 x2-1，x＜0

在x=0处连续，
∴

lim

x→0+

acosx=a=

lim

x→0-

x2-1=-1，
∴a=-1，即②正确；
在③中，不妨令x=

1

2

，k=

2

，有

2

2

≥

2

2

，成立，故实数k的取值范围是[0，1]是错误的；
在④中，y=tan(ωx+

π

4

)(ω＞0)

图象按向量 a =( π 6 ，0)平移

y=tan（ω（x-

π

6

）+

π

4

）=tan（ωx+

π

6

）?ω=

1

2

-6k（k∈Z），
令k=0，ωmin=

1

2

由此可判断④是错误的；
故答案为：①②

点评：本题考查充要条件，函数的连续性的概念，正切函数的图象，正弦函数的图象，难点在于充要条件问题的合理的转化、恒成立问题的灵活与综合应用，属于难题