Question

设数列的前项和为，且对任意的，都有，．（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：．

Answer 1

（本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）

（1）解：当时，有，

由于，所以． 

当时，有，即，

将代入上式，由于，所以．

（2）解：由，

得，                ①

则有．     ②

②－①，得，

由于，所以．         ③

同样有，          ④

③－④，得．

所以．

由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．

故．

（3）证明1：由于，

，

所以．

即．

令，则有．

即，

即

故．

证明2：要证，

只需证，

只需证，

只需证．

由于

．

因此原不等式成立．