Question

在双曲线4x²-y²=1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是

x2

5

-

y2

20

=±1

．

Answer 1

分析：先由双曲线方程4x²-y²=1求出它的渐近线方程，再根据渐近线方程设A（m，2m），B（n，-2n），由于|OA|•|OB|=15，
化得：m²n²=25，设AB中点M（x，y）利用职权中点坐标公式可得4x²-y²=4mn，从而消去mn即得所求的AB中点的轨迹方程．

解答：解：∵双曲线4x²-y²=1，∴a²=

1

4

，b²=1
∴渐近线y=2x，y=-2x，
设A（m，2m），B（n，-2n），由于|OA|•|OB|=15，
∴|OA|²•|OB|²=225，
∴（m²+4m²）（n²+4n²）=225
∴m²n²=25，
设AB中点M（x，y）
x=

1

2

（m+n），y=m-n，
∴（2x）²-y²=（m+n）²-（m-n）²
4x²-y²=4mn
（4x²-y²）²=16m²n²=16×25，
∴4x²-y²=±20，即

x2

5

-

y2

20

=±1，
故答案为：

x2

5

-

y2

20

=±1．

点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．