题目内容

若A，B，C三点不共线，|
AB
|=2，|
CA
|=3|
CB
|，则
CA
•
CB
的取值范围是（　　）
分析：先设|
CA
|=x，再求出|
CA
|=3x，由题意画出图形，再由三角形三边的性质求出x的范围，把边长代入余弦定理的推论求出cosC的表达式，代入
CA
•
CB
化简，由二次函数的性质求出它的范围．
解答：解：设|
CA
|=x，则|
CA
|=3|
CB
|=3x，
由于A，B，C三点不共线，能构成三角形，如下图：

由三角形三边的性质得，
x+3x＞2
3x+2＞x
x+2＞3x
，解得
1
2
＜x＜1，
由余弦定理的推论得，cosC=
AC2+BC2-AB2
2AC•BC
=
x2+9x2-4
6x2
=
10x2-4
6x2
，
∴
CA
•
CB
=|
CA
||
CB
|cosC=3x2×
10x2-4
6x2
=5x2-2，
由
1
2
＜x＜1得，-
3
4
＜5x2-2＜3，
故选D．
点评：本题考查了向量的数量积在几何中的应用，以及三角形三边的性质、余弦定理的推论，二次函数的性质等，需要正确做出图形，考查了分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
以下四个命题中：
①“若x2+y2≠0，则x，y全不为零”的否命题；
②若A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，有
OM
=
1
3
AO
+
1
3
OB
+
1
3
OC
，则点M与点A、B、C共面；
③若双曲线
x2
9
-
y2
16
=1的两焦点为F1、F2，点P为双曲线上一点，且
PF1
•
PF2
=0，则△PF1F2的面积为16；
④曲线
x2
25
+
y2
9
=1与曲线
x2
9-k
+
y2
25-k
=1（0＜k＜9）有相同的焦点；
其中真命题的序号为
③
③
．
下列命题：
①若
a
与
b
共线，则存在唯一的实数λ，使
b
=λ
a
；
②空间中，向量
a
、
b
、
c
共面，则它们所在直线也共面；
③P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面ABC上的射影．若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC垂心．
④若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点．
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
+
1
3
OC
，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．
上述命题中正确的命题是
③④
③④
．
下列命题：
①若向量
a
与向量
b
共线，向量
b
与向量
c
共线，则向量
a
与向量
c
共线；
②若向量
a
与向量
b
共线，则存在唯一实数λ，使
b
=λ
a
；
③若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，且
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
+
1
3
OC
，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部．
上述命题中的真命题个数为（　　）
类比命题：“若A、B、C三点不共线，D是线段AB的中点，则
CD
=
1
2
(
CA
+
CB
)”，给出空间中的一个恰当正确命题：
若A、B、C、D四点不共面，G为△ABC的重心，则
DG
=
1
3
(
DA
+
DB
+
DC
)
若A、B、C、D四点不共面，G为△ABC的重心，则
DG
=
1
3
(
DA
+
DB
+
DC
)
．

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