Question

设函数f（x）=ax+b，（其中a≠0）若f（3）=5，且f（1），f（2），f（5）成等比数列．
（1）求f（n）；
（2）令b_n=f（n）•2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）直接由f（3）=5，且f（1），f（2），f（5）成等比数列列式求出a和b的值，则f（n）可求；
（2）把f（n）代入b_n=f（n）•2ⁿ，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵f（3）=5，且f（1），f（2），f（5）成等比数列，
∴

3a+b=5 (a+b)(5a+b)=2a+b

，解得a=2，b=-1．
∴f（x）=2x-1．即f（n）=2n-1．
（2）由题意得，bn=(2n-1)•2n，
则Tn=1•21+3•22+…+(2n-1)•2n①
2Tn=1•22+3•23+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1②
①-②得：-Tn=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)•2n+1
=2•2ⁿ⁺¹-6-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-（2n-3）•2ⁿ⁺¹-6．
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．