题目内容

已知关于x的一元二次方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0的两根分别是tanα，tanβ．求tan（α+β）的取值范围．
分析：利用韦达定理，有tanα+tanβ=-
2m-3
m
，tanαtanβ=
m-2
m
，根据两角和的正切公式，将tan（α+β） 展开，最后化成关于m的函数，求出范围，注意一元二次方程根存在的条件是△≥0．
解答：解：由题意，可得
m≠0
△=(2m-3)2-4m(m-2)≥0

解得m≤
9
4
且m≠0．      　　
由韦达定理有tanα+tanβ=-
2m-3
m
，tanαtanβ=
m-2
m

∴tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=-m+
3
2
，
又m≤
9
4
且m≠0，从而求得tan（α+β）的取值范围是[-
3
4
，
3
2
)∪(
3
2
，+∞)．
点评：本题考查一元二次方程根存在的条件，两角和的正切公式的应用，函数思想及函数值域求解．是道好题．
练习册系列答案
相关题目
已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域
x+y-8≤0
x＞0
y＞0
内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（1）在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为30秒、5秒和40秒．当你到达路口时，求不是红灯的概率．
（2）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1．
（Ⅰ）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[|m+n|2上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（
1
2
，|m+n|min=
2
2
）是区域
x+y-8≤0
x＞0
y＞0
内的随机点，求MD上是增函数的概率．
已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（-2，3），则关于x的不等式cx+b
x
+a＜0的解集为
[0，
1
9
）
[0，
1
9
）
．
（2011•蓝山县模拟）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0在实数集上恒成立，且a＜b，则T=
a+b+cb-a
的最小值为
3
3
．

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