Question

12．若函数f（x）=a^x+ka^-x（a＞0且a≠1）在R上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log_a（x+k）的图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由函数f（x）=a^x+ka^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=-1，a＞1，由此不难判断函数的图象．

解答 解：∵函数f（x）=a^x+ka^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函数
∴f（-x）+f（x）=0
即（k+1）（a^x+a^-x）=0
则k=-1
又∵函数f（x）=a^x+ka^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是增函数
则a＞1
则g（x）=log_a（x+k）=log_a（x-1）
函数图象必过（2，0），且为增函数
故选：D．

点评 若函数在其定义域为为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（-x）-f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数-减函数=增函数也是解决本题的关键．