Question

已知函数f(x)=ax-

1

2x

-lnx在（0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：将函数为增函数，转化为导函数大于等于0恒成立，分离出参数a，构造函数，通过换元将函数转化为二次函数的最值，求出a的范围．

解答：解：∵f(x)=ax-

1

2x

-lnx在（0，+∞）上是增函数
∴f′(x)=a+

1

2x2

-

1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立
∴a≥-

1

2x2

+

1

x

在（0，+∞）上恒成立
下面求y=-

1

2x2

+

1

x

在（0，+∞）上的最大值
令t=

1

x

则t∈（0，+∞）
∴y=-

1

2

t2+t，  t∈(0，+∞)
∴t=1时，y=-

1

2

t2+t，  t∈(0，+∞)有最大值

1

2

∴a的取值范围是a≥

1

2

点评：解决函数在某区间上单调性已知求参数问题，一般令导数大于等于0恒成立；解决不等式恒成立一般分离参数转化为求函数的最值．