题目内容

设f(x)=
1-x2
1+x2
(x∈R)
（1）求证：f(
1
x
)=-f(x)，(x≠0)；
（2）求值：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)+…+f(
1
2008
)．
（1）因为f(
1
x
)=
1-(
1
x
)2
1+(
1
x
)2
=
x2-1
x2+1
，f(x)=
1-x2
1+x2
，（4分）
所以f(
1
x
)=-f(x)，(x≠0)；（6分）
（2）由（1）知f(
1
x
)+f(x)=0（3） （8分）
所以f(1)+f(2)+f(3)++f(2008)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)++f(
1
2008
)．
=f（1）+f（2）   （12分）
=0+
-3
5
=-
3
5
   （14分）．
练习册系列答案
相关题目
设f(x)=λ1(
a
3
x3+
b-1
2
x2+x)+λ2x•3x(a，b∈R，a＞0)
（1）当λ1=1，λ2=0时，设x1，x2是f（x）的两个极值点，
①如果x1＜1＜x2＜2，求证：f'（-1）＞3；
②如果a≥2，且x2-x1=2且x∈（x1，x2）时，函数g（x）=f'（x）+2（x-x2）的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
（2）当λ1=0，λ2=1时，
①求函数y=f（x）-3（ln3+1）x的最小值．
②对于任意的实数a，b，c，当a+b+c=3时，求证3aa+3bb+3cc≥9．
设函数f(x)=
 
1-x2
，(|x|≤1)
|x|，(|x|＞1)
，若方程f（x）=a有且只有一个实根，则实数a满足（　　）
A、a＜0B、0≤a＜1
C、a=1D、a＞1
（2009•锦州一模）设函数f(x)=
1-x2，x≤1
x2-2，x＞1
，则 f(
1
f(2)
)的值为（　　）
（2012•海淀区二模）某同学为研究函数f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的图象的对称轴是
x=
1
2
x=
1
2
；函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数是
2
2
．
设f(x)=
1
1+x2
，|x|＞1
|x-1|-2，|x|≤1
，则f(f(
1
2
))=（　　）
A、
1
2
B、
4
13
C、-
9
5
D、
25
41

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