题目内容
已知幂函数f(x)=(n2-2n+1)xn2-2在（0，+∞）上是增函数，
=(sinθ，-2)，
=(1，cosθ)，g(x)=f(sinx+cosx)+2
cos2x
（1）当
⊥
时，求g（θ）的值；
（2）求g（x）的最值以及g（x）取最值时x的取值集合．
| a |
| b |
| 3 |
（1）当
| a |
| b |
（2）求g（x）的最值以及g（x）取最值时x的取值集合．
分析：（1）由幂函数的定义可得 n2-2n+1=1，n2-2＞0，由此求得 n的值，从而得到f（x）的解析式．由
⊥
，求得tanθ=2，利用三角函数的恒等变换化简g（θ）的解析式为1+
，运算求得结果．
（2）由于g（x）=1+2sinxcosx+2
cos2x，化简为 2sin（2x+
）+
+1，由此求得g（x）的最值以及此时x的取值集合．
| a |
| b |
2tanθ+2
| ||
| tan2θ+1 |
（2）由于g（x）=1+2sinxcosx+2
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
解答：解：（1）由幂函数的定义可得 n2-2n+1=1，n2-2＞0，故 n=2，f（x）=x2．
∵
⊥
，∴
•
=sinθ-2cosθ=0，∴tanθ=2．
∴g（θ）=（sinθ+cosθ）2+2
cos2θ=1+2sinθcosθ+2
cos2θ=1+
=1+
=1+
=
．…（6分）
（2）∵g（x）=1+2sinxcosx+2
cos2x=sin2x+
cos2x+
+1=2sin（2x+
）+
+1．
故g（x）的最大值为3+
，此时，2x+
=2kπ+
，x的取值集合为{x|x=kπ+
，k∈z}．
g（x）的最小值为
-1，此时，2x+
=2kπ-
，x的取值集合为{x|x=kπ-
，k∈z}．
∵
| a |
| b |
| a |
| b |
∴g（θ）=（sinθ+cosθ）2+2
| 3 |
| 3 |
2sinθcosθ+2
| ||
| sin2θ+cos2θ |
2tanθ+2
| ||
| tan2θ+1 |
4+2
| ||
| 4+1 |
9+2
| ||
| 5 |
（2）∵g（x）=1+2sinxcosx+2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
故g（x）的最大值为3+
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
g（x）的最小值为
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，幂函数的定义，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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