Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ) 证明：PA⊥BD；
(Ⅱ) 若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）由余弦定理得 ，证得BD²+AD²= AB²，故BDAD;可得 BD PD
所以BD 平面PAD. 故 PABD
（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）因为, 由余弦定理得 
从而BD²+AD²= AB²，故BDAD;又PD 底面ABCD，可得BD PD
所以BD 平面PAD. 故 PABD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则

,,,。

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则,
 即
因此可取n=
设平面PBC的法向量为m，则
可取m=（0，-1，）        
故二面角A-PB-C的余弦值为 
考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角的计算。
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。