Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，E、F分别是AD、DD₁的中点，则面EFC₁B和面BCC₁所成二面角的正切值等于

   

Answer 1

C

解析:

为了作出二面角E-BC₁-C的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。                                                              

从图形特点看，应当过E（或F）作面BCC₁的垂线.过E作EH⊥BC，垂足为H. 过H作HG⊥BC₁，垂足为G.连EG.

∵面ABCD⊥面BCC₁，而EH⊥BC

∵EH⊥面BEC₁，

EG是面BCC₁的斜线，HG是斜线EG在面BCC₁内的射影.

∵HG⊥BC₁，                                                                                 

    ∴EG⊥BC_1，

    ∴∠EGH是二面角E-BC₁-C的平面角。

    在Rt△BCC₁中：sin∠C₁BC==

    在Rt△BHG中：sin∠C₁BC=

    ∴HG=（设底面边长为1）.

    而EH=1，

    在Rt△EHG中：tg∠EGH=

    ∴∠EGH=arctg

    故二面角E-BC₁-C 等于arctg.