Question

已知函数f(x)=

3

cos2x-sin2x的图象为C，则如下结论中正确的序号是

①②

．
①图象C关于直线x=

11

12

π对称； 
②图象C关于点(

2π

3

，0)对称； 
③函数f（x）在区间[-

π

12

，

5π

12

]上是增函数；
④将y=2sin2x的图象向右平移

π

6

个单位长度可以得到图象C．

Answer 1

分析：f（x）解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的余弦函数，利用余弦函数的对称性、单调性，以及平移规律即可做出判断．

解答：解：f（x）=2（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）=2cos（2x+

π

6

），
令2x+

π

6

=kπ，k∈Z，得到x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z，
当k=2时，x=

11π

12

，
则函数图象C关于直线x=

11π

12

对称，选项①正确；
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得到x=

kπ

2

+

π

6

，
当k=1时，x=

2π

3

，
则函数图象C关于（

2π

3

，0）对称，选项②正确；
令-π+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ，k∈Z，得到-

7π

12

+kπ≤x≤-

π

12

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[-

7π

12

+kπ，-

π

12

+kπ]，k∈Z，
令2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，k∈Z，得到-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，k∈Z，
∴f（x）在[-

π

12

，

5π

12

]上单调递减，选项③错误；
将y=2sin2x的图象向右平移

π

6

个单位长度得到y=2sin2（x-

π

6

）=2sin（2x-

π

3

）=2sin[（2x+

π

6

）-

π

2

]=-2cos（2x+

π

6

），选项④错误，
则结论正确的选项有：①②．
故答案为：①②

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及平移规律，熟练掌握公式是解本题的关键．