Question

已知函数f(x)=x³+bx²+cx+1在区间（-∞,-2］上单调递增，在区间［-2，2］上单调递减，且b≥0.

(1)求f(x)的表达式；

(2)设0＜m≤2，若对任意的x₁、x₂∈［m-2,m］,不等式|f(x₁)-f(x₂)|≤16m恒成立，求实数m的最小值.

Answer 1

解：(1)由题意知x=-2是该函数的一个极值点,

    由于f′(x)=3x²+2bx+c,∴f′(-2)=0,即：12-4b+c=0,

    又f(x)在［-2，2］上单调递减，

∴f′(x)=3x²+2bx+c在［-2，2］上恒有f(x)≤0，

∴f′(2)≤0,即：12+4b+c≤0.

∴12+4b+4b-12≤0,∴b≤0,又b≥0,∴b=0,

c=-12,f(x)=x³-12x+1.

(2)∵f′(x)=3x²-12=3(x-2)(x+2),0＜m≤2,而当m-2≤x≤m时,

0＜m≤x+2≤m+2,

m-4≤x-2≤m-2≤0,∴f′(x)≤0(x∈［m-2,m］).

    因此f(x)为［m-2,m］上的减函数，∴对任意x₁,x₂∈［m-2,m］都有|f(x₁)-f(x₂)|≤［f(x)］_max-［f(x)］_min=f(m-2)-f(m),

=-6m²+12m+16≤16m,∴m≥  即m_min=.