Question

【题目】已知函数 在 上有最大值1和最小值0，设 .
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
（3）若方程 ( 为自然对数的底数)有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，当 时， 在 上是增函数，∴ ，

即 ，解得 ，

当 时， ，无最大值和最小值；

当 时， 在 上是减函数，∴ ，即 ，解得 ，

∵ ，∴ 舍去.

综上， 的值分别为1、0

（2）解：由（1）知 ，∴ 在 上有解等价于

在 上有解，

即 在 上有解，令 ，则 ，

∵ ，∴ ，记 ，∵ ，∴ ，

∴ 的取值范围为

（3）解：原方程可化为 ，令 ，则 ，

由题意知 有两个不同的实数解 ， ，

其中 ， 或 ， ，

记 ，则 得

【解析】（1）根据m的取值不同讨论函数g（x）的单调性，从而确定函数的最大值和最小值，列出方程组即可求解；（2）原不等式等价于+2k在[2,4]上有解，即2k+1在[2,4]上有解，令t=，构造函数（t）=t2-2t+1，并求出该函数在[,1]上的最大值，进而可求出k的取值范围；（3）将原方程化简，令q=，构造函数h（q）=q2-（3a+2）q+2a+1.