题目内容
已知z7=1（z∈C且z≠1）．（1）证明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0；
（2）设z的辐角为α，求cosα+cos2α+cos4α的值．
分析：（1）证明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0；只须1+z+z2+z3+z4+z5+z6乘z，此式移项化简即可．
（2）由（1）知|z|=1，z的辐角为α时，复数z+z2+z4的实部为cosα+cos2α+cos4α，利用复数的性质构造z+z2+z4即可．
（2）由（1）知|z|=1，z的辐角为α时，复数z+z2+z4的实部为cosα+cos2α+cos4α，利用复数的性质构造z+z2+z4即可．
解答：解：（1）由z（1+z+z2+z3+z4+z5+z6）
=z+z2+z3+z4+z5+z6+z7
=1+z+z2+z3+z4+z5+z6，
得（z-1）（1+z+z2+z3+z4+z5+z6）=0．（4分）
因为z≠1，z-1≠0，
所以1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0．（6分）
（2）因为z7=1．可知|z|=1，
所以z•
=1，而z7=1，所以z•z6=1，z6=
，同理
=z5，
=z3，
=z3+z5+z6
由（Ⅰ）知z+z2+z4+z3+z5+z6=-1，
即z+z2+z4+
=-1，
所以z+z2+z4的实部为-
，（8分）
而z的辐角为α时，复数z+z2+z4的实部为cosα+cos2α+cos4α，
所以cosα+cos2α+cos4α=-
．（12分）
=z+z2+z3+z4+z5+z6+z7
=1+z+z2+z3+z4+z5+z6，
得（z-1）（1+z+z2+z3+z4+z5+z6）=0．（4分）
因为z≠1，z-1≠0，
所以1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0．（6分）
（2）因为z7=1．可知|z|=1，
所以z•
. |
| z |
. |
| z |
. |
| z2 |
. |
| z4 |
. |
| z+z2+z4 |
由（Ⅰ）知z+z2+z4+z3+z5+z6=-1，
即z+z2+z4+
. |
| z+z2+z4 |
所以z+z2+z4的实部为-
| 1 |
| 2 |
而z的辐角为α时，复数z+z2+z4的实部为cosα+cos2α+cos4α，
所以cosα+cos2α+cos4α=-
| 1 |
| 2 |
点评：本小题主要考查复数的基本概念和基本运算，考查综合运用复数的知识解决问题的能力．
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