题目内容

过双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐进线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若 $数学公式$ =2 $数学公式$ ，则该双曲线离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
3

C
分析：先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐进线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率
解答：

设F（c，0），则c²=a²+b²∵双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的渐进线方程为y=± $\text{[math]}$ x
∴垂线FM的斜率为- $\text{[math]}$
∴直线FM的方程为y=- $\text{[math]}$ （x-c）
令x=0，得点E的坐标（0， $\text{[math]}$ ）
设M（x，y），∵ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴（x-c，y）=2（-x， $\text{[math]}$ -y）
∴x-c=-2x且y= $\text{[math]}$ -2y
即x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$
代入y= $\text{[math]}$ x
得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即2a²=b²，
∴2a²=c²-a²，
∴ $\text{[math]}$ =3， $\text{[math]}$
∴该双曲线离心率为 $\text{[math]}$
故选C
点评：本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用

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