Question

解关于x的不等式

ax2-2

ax+1

＞x．

Answer 1

分析：把不等式的右边移项到左边，合并后转化为x+2与ax+1的积小于0，然后分三种情况考虑：a大于0，a=0和a小于0，当a大于0时，又分a大于

1

2

，a大于0小于

1

2

和a等于

1

2

三种情况分别求出相应的解集；当a=0时，代入不等式即可解集；当a小于0时，根据-

1

a

大于0，-2小于0，即可得到不等式的解集，综上，列举出各种情况的解集即为原不等式的解集．

解答：解：原不等式可化为

ax2-2-(ax2+x)

ax+1

＞0，即

-x-2

ax+1

＞0，
即（x+2）（ax+1）＜0，
①由a＞0得(x+2)(x+

1

a

)＜0
当-

1

a

＞-2，即a＞

1

2

时，-2＜x＜-

1

a

；
当-

1

a

＜-2，即0＜a＜

1

2

时，-

1

a

＜x＜-2；
当-

1

a

=-2，即a=

1

2

时，x∈∅，
②当a=0，则x＜-2；
③当a＜0，则-

1

a

＞0，(x+2)(x+

1

a

)＞0，
所以x＞-

1

a

或x＜-2；
综上所述：原不等式的解集是：
当a＞

1

2

时，{x|-2＜x＜-

1

a

}；
当a=

1

2

时，解集为∅；
当0＜a＜

1

2

时，{x|-

1

a

＜x＜-2}；
当a=0时，{x|x＜-2}；
当a＜0时，{x|x＞-

1

a

或x＜-2}．

点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．