Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=17，S₁₀=100．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）由题意等差数列{a_n}中a₂=17，S₁₀=100，利用通项公式及前n项和公式建立首项与公差的方程求出即可得到数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）首先利用诱导公式以及（I）求出数列{b_n}的通项公式，然后当n为奇数时T_n=b₁+b₂++b_n=(-2)×

n

2

+

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2，当n为奇数时，T_n=b₁+b₂+…+b_n=-a1+(a2-a3)+(an-1-an)+

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹+n-22，即可求出结果．

解答：解：（I）设a_n首项为a₁，公差为d，
则

a1+d=17 10(2a1+9d) 2 =100

解得

a1=19 d=-2

（5分）∴a_n=19+（n-1）×（-2）=21-2n（7分）
（II）∵b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ=（-1）ⁿa_n+2ⁿ
当n为偶数时，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（a_n+2ⁿ）
=(-2)×

n

2

+

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2（10分）
当n为奇数时，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（-a_n+2ⁿ）
=-a1+(a2-a3)+…+(an-1-an)+

2(1-2n)

1-2

=-19+2×

n-1

2

+2n+1-2=2ⁿ⁺¹+n-22（13分）
∴Tn=

2n+1-n-2(当n为偶数) 2n+1+n-22(当n为奇数)

（14分）

点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及三角函数的诱导公式，（II）问要注意对n的奇偶性进行讨论，属于中档题．