Question

21.在数列中，，其中.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立.

Answer 1

（Ⅰ）解法一：，

，

.

由此可猜想出数列的通项公式为.

以下用数学归纳法证明.

（1）当时，，等式成立.

（2）假设当时等式成立，即，

那么

.

这就是说，当时等式也成立.根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立.

解法二：由，，

可得，

所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为.

（Ⅱ）解：设，　　　①

　　　　　　　　   ②

当时，①式减去②式，

得，

.

这时数列的前项和.

当时，.这时数列的前项和.

（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

.　　　　③

由知，要使③式成立，只要，

因为

.

所以③式成立.

因此，存在，使得对任意均成立.