Question

函数f（x）是定义域为R的奇函数，且x≤0时，f（x）=3^x-

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2

x+a，则函数f（x）有

 

个零点．

Answer 1

分析：根据函数f（x）是奇函数，利用f（0）=0，先求出a，然后利用数形结合确定当x＜0时的零点个数即可得到函数f（x）的零点个数．

解答：解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，且x≤0时，f（x）=3^x-

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x+a，
∴f（0）=0，即f（0）=1+a=0，
解得a=-1，
∴x≤0时，f（x）=3^x-

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2

x-1，
∵f（0）=0，∴x=0是函数f（x）的一个零点．
根据函数是奇函数的对称性，只需要判断当x＜0时，函数f（x）的零点个数即可．
当x＜0时，由f（x）=3^x-

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2

x-1=0得3^x=

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2

x+1，
分别作出函数y=3^x，y=

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2

x+1的图象如图：
由图象可知当x＜0时，两个函数只有一个交点，
根据奇函数的性质可知，当x＞0时，两个函数也只有一个交点，
故函数f（x）的零点个数为3个．
故答案为：3．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的对称性判断函数在x＜0时的零点个数是解决本题的关键，利用数形结合的思想去解决问题．