Question

已知函数f（x）=ax²+2ln（1﹣x）（a∈R）．
（1）若f（x）在x=﹣1处有极值，求a的值；
（2）若f（x）在[﹣3，﹣2）上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）是否存在正实数a，使得f（x）的导函数f′（x）满足，
若存在，求出a的值，若不存在说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax²+2ln（1﹣x），
∴1﹣x＞0，即x＜1，，
∵f（x）在x=﹣1处有极值，
∴=0，
解得a=﹣．
（2）∵f（x）在[﹣3，﹣2）上是增函数，
∴≥0对一切x∈[﹣3，﹣2）恒成立，
∴a≤=，
当x∈[﹣3，﹣2）时，﹣＜﹣6，
∴＞﹣．
故a≤﹣．
（3）假设存在正数a，使得成立，
=2a﹣[2a（1﹣x）+]≤，
由2a（1﹣x）=，得（1﹣x）²=，
∴x=1±，由于x=1+＞1，故应舍去，
当x=1﹣时，，
令2a﹣2=1﹣2，解得a=，或a=．