题目内容

设函数f（x）=a•b，其中向量a=（m，cos2x），b=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点（ $数学公式$ ，2）．
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．
（3）求f（x）在[0， $数学公式$ ]上的单调增区间．

解：（1）f（x）=a•b=m（1+sin2x）+cos2x，
∵图象经过点（ $\text{[math]}$ ，2），
∴f（ $\text{[math]}$ ）=m（1+sin $\text{[math]}$ ）+cos $\text{[math]}$ =2，解得m=1；
（2）当m=1时，f（x）=1+sin2x+cos2x= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，
∴T= $\text{[math]}$ =π；
（3）x∈[0， $\text{[math]}$ ]，2x∈[0，π]，
∴2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
由 $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，得0≤x≤ $\text{[math]}$
∴f（x）在[0， $\text{[math]}$ ]上的单调增区间为[0， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）先根据 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 求得函数f（x）的解析式，进而把点（ $\text{[math]}$ ，2）代入即可求得m．
（2）把m的值代入函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用T= $\text{[math]}$ 求得函数的最小正周期．
（3）根据x的范围进而可确定2x+ $\text{[math]}$ 的范围，同时根据正弦函数的单调性可求得函数的单调递增曲线，最后取交集，答案可得．
点评：本题主要考查了三角函数周期性及其求法，三角函数的公式变形，基本运算，和三角函数的图象及其性质，考查面比较广．