Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N₊）
（1）若b_n=a_n+1-2a_n，求b_n；
（2）若，求{c_n}的前6项和T₆；
（3）若，证明{d_n}是等差数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知利用递推关系即可得出b_n+1=2b_n，利用等比数列的通项公式即可得出b_n；
（2）利用（1）和等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）利用等差数列的定义即可证明．
解答：解（1）∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N₊），
∴S_n+2=4a_n+1+2a_n+2=S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n），
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
即b_n+1=2b_n
∴{b_n}是公比为2的等比数列，且b₁=a₂-2a₁
∵a₁=1，a₂+a₁=S₂
即a₂+a₁=4a₁+2，
∴a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=5-2=3，
∴．
（2）∵，
∴，∴
∴{c_n}是首项为，公比为的等比数列．
∴．
（3）∵，
∴
即，
∴{d_n}是等差数列．
点评：熟练掌握递推关系、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、等差数列的定义是解题的关键．