题目内容

已知函数 $数学公式$ ，x∈R，将函数f（x）向左平移 $数学公式$ 个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（Ⅰ）若 $数学公式$ ，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；
（Ⅱ）若g（B）=0且 $数学公式$ ， $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（1分）
$\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ．…（3分）
由余弦定理知： $\text{[math]}$ ，因sinB=3sinA，
所以由正弦定理知：b=3a．…（5分）
解得：a=1，b=3…（6分）
（Ⅱ）由题意可得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ …（8分）
∵ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ …（10分）
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）为 $\text{[math]}$ ，由f（C）=0求得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由余弦定理知： $\text{[math]}$ ，因sinB=3sinA，可得b=3a，由此求得a、b的值．
（Ⅱ）由题意可得 $\text{[math]}$ ，由g（B）=0求得 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，化简 $\text{[math]}$ 等于sin（ $\text{[math]}$ ），根据 $\text{[math]}$ 的范围求得 $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，解三角形，属于中档题．