Question

已知奇函数 f (x) 在 (－¥,0)∪(0,+¥) 上有意义，且在 (0,+¥) 上是增函数，f (1) = 0，又函数 g(q) = sin ²q+ m cos q－2m，若集合M =" {m" | g(q) < 0}，集合 N =" {m" | f [g(q)] < 0}，求M∩N.

Answer 1

 .

试题分析：根据条件中是奇函数的这一条件可以求得使的的范围，再根据与的表达式，可以得到与的交集即是使恒成立的所有的全体，通过参变分离可以将问题转化为求使恒成立的的取值范围，通过求函数最大值，进而可以求出的范围.
依题意，，又在上是增函数，
∴在 上也是增函数，                  1分
∴ 由得或                 2分
∴ 或        3分
                                  4分
由得                     5分
即                                   6分
∴                7分
设，             9分
∵，                               10分
∴，                   11分
且                      12分
∴的最大值为            13分
∴               14分
另解：本题也可用下面解法：
1. 用单调性定义证明单调性
∵对任意 ，，，
∴，
即在上为减函数，
同理在上为增函数，得        5分
∴.
2. 二次函数最值讨论
解：依题意，，又在上是增函数，
∴在 上也是增函数，  
∴由得或 
∴或，
                  4分
由得恒成立，
                            5分
设，   6分
∵，的对称轴为         7分
1°当，即 时，在为减函数，∴    9分
2°当，即 时，
∴    11分
3°当，即时，在为增函数，
∴无解                  13分
综上，               14分
3. 二次方程根的分布
解：依题意，，又在上是增函数，
∴在 上也是增函数，   
∴ 由得或 
∴ 或，，
由得恒成立，
，
设，
∵，的对称轴为，，                  7分
1°当，即时，恒成立。       9分
2°当，即或时，
由在上恒成立
∴               13分
综上，               14分
4.用均值不等式（下学段不等式内容）
∵，∴，
且，即时等号成立。
∴的最大值为.
∴.        5分