Question

（2008•南京模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
把参数方程

x= 1-t2 t2+1 y= 4t t2+1

（t是参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线．

Answer 1

分析：将参数方程化为普通方程，其手段即为消参数，消参数要根据题设中条件选择方法
法一：对参数方程进行整理得

2

t2+1

=x+1  ①，又

4t

t2+1

=y  ②，两式相除得到t=

y

2(x+1)

 再代入

2

t2+1

=x+1 即可消去参数得到普通方程；
法二：由题设，可令x=

1-t2

t2+1

，①，y=

4t

t2+1

②，观察其形式发现，由①²+（

②

2

）²即可消去参数，求得普通方程；

解答：解：法一：由x=

1-t2

t2+1

，得x=-1+

2

t2+1

，即

2

t2+1

=x+1  ①，又

4t

t2+1

=y  ②，
②÷①得：t=

y

2(x+1)

 ③，（3分）
将③代入①得 x+1=

2

( y 2(x+1) )2+1

，
整理得：x²+

y2

4

=1．   …（6分）
因为t²+1≥1，所以x=-1+

2

t2+1

∈（-1，1]，
所求普通方程为x²+

y2

4

=1 （x≠-1）．…（8分）
法二：由x=

1-t2

t2+1

，①，
y=

4t

t2+1

②，
①²+（

②

2

）²得x²+

y2

4

=1．   …（6分）
因为t²+1≥1，所以x=-1+

2

t2+1

∈（-1，1]，
所求普通方程为x²+

y2

4

=1 （x≠-1）．…（8分）

点评：本题考查将参数方程化为普通方程，考查了代入法消去参数与组合法消去参数，解题的关键是掌握住消去参数的方法原理，方法一代入法法消去参数是常规方法，具有一般性，方法二通过对形式组合整体消去参数，技巧性较高，需要答题者有较强的观察能力及对条件进行变形整理的能力．