Question

已知M（-3，0）﹑N（3，0），P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m（m≥-1，m≠0）．
（1）求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
（2）若，P点的轨迹为曲线C，过点Q（2，0）斜率为k₁的直线?₁与曲线C交于不同的两点A﹑B，AB中点为R，直线OR（O为坐标原点）的斜率为k₂，求证k₁k₂为定值；
（3）在（2）的条件下，设，且λ∈[2，3]，求?₁在y轴上的截距的变化范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据斜率公式得出，然后分情况讨论曲线类型；
（2）首先根据（1）求出曲线方程，然后联立直线方程和曲线方程并利用韦达定理得出y₁+y₂，y₁y2，从而求得R的坐标，进而得出k₁k₂的值．
（3）根据得y₂=-λy₁然后代入（2）中①②式，从而得出，然后根据在λ∈[2，3]上单调递增调得出，，即可得出结果．
解答：解：（1）设p（x，y）
由，得y²=m（x²-9），
若m=-1，则方程为x²+y²=9，轨迹为圆（除A B点）；
若-1＜m＜0，方程为，轨迹为椭圆（除A B点）；
若m＞0，方程为，轨迹为双曲线（除A B点）．
（2）时，曲线C方程为，设?₁的方程为：x=ty+2
与曲线C方程联立得：（5t²+9）y²+20ty-25=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则①，②，
可得，．
（3）由得y₂=-λy₁代入①②得：③，④，
③式平方除以④式得：，
而在λ∈[2，3]上单调递增，，，?₁在y轴上的截距为b，=，．
点评：本题考查了轨迹方程、函数值域以及直线与圆锥曲线的综合问题，对于直线与圆锥曲线一般联立方程设而不求的方法求解，此题综合性强，属于难题．