Question

已知函数y=f（x）是二次函数，且f（0）=8，f（x+1）-f（x）=-2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=8可求c，由f（x+1）-f（x）=-2x+1可构造关于a，b的方程组，可求解．
（Ⅱ）定义法证明函数的单调性，注意步骤．

解答：解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c∴f（0）=c，又f（0）=8∴c=8
又f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c

∴f(x+1)-f(x) =[a(x+1)2+b(x+1)+c]-(ax2+bx+c) =2ax+(a+b)

结合已知得：2ax+（a+b）=-2x+1，
∴

2a=-2 a+b=1

∴a=-1，b=2
∴f（x）=-x²+2x+8
（Ⅱ）证明：设任意的x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，

f(x1)-f(x2) =(-x12+2x1+8)-(-x22+2x2+8) =(x22-x12)+2(x 1-x2) =(x2-x1)(x2+x1-2)

又由假设知x₂-x₁＞0，而x₂＞x₁≥1
∴x₂+x₁-2＞0∴（x₂-x₁）（x₂+x₁-2）＞0
即f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．

点评：本题为函数解析式的求解，单调性的证明，利用了解方程组的思想和定义法证明单调性，属基础题．