Question

已知数列，满足，，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1），（2）当时，不存在，满足题设条件；当时，存在，，满足题设条件．

试题分析：（1）求证数列是等差数列，就是确定为一个常数.因此首先得到关于与的关系式，因为，所以，则，然后按提示，将所求关系式进行变形，即取倒数，得：，又，所以，故是首项为，公差为的等差数列，即，所以.（2）先明确数列，由(1)得，所以，然后假设存在，得一等量关系：若，，成等差数列，则，如何变形，是解题的关键，这直接影响解题方向.题中暗示，用p表示，所以由得：.令得，因为要，所以分情况讨论，当时，，，，成等差数列不成立．当时，，，即．
试题解析：（1）因为，所以，
则，                  2分
所以，
又，所以，故是首项为，公差为的等差数列，       4分
即，所以．                         6分
（2）由（1）知，所以，
①当时，，，，
若，，成等差数列，则（），
因为，所以，，，，
所以（）不成立．                                                   9分
②当时，若，，成等差数列，
则，所以，
即，所以，                       12分
欲满足题设条件，只需，此时，                 14分
因为，所以，，
即．                                                           15分
综上所述，当时，不存在，满足题设条件；
当时，存在，，满足题设条件．  16分