题目内容

函数f（x）是定义在[0，1]上，满足 $数学公式$ 且f（1）=1，在每个区间 $数学公式$ （i=1，2，3，…）上，y=f（x）的图象都是平行于x轴的直线的一部分．
（1）求f（0）及 $数学公式$ ， $数学公式$ 的值，并归纳出 $数学公式$ （i=1，2，3，…）的表达式；
（2）设直线 $数学公式$ ， $数学公式$ ，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为a_i（i=1，2，3，…），求a₁，a₂及 $数学公式$ 的值．

解：（1）由题意可得f（0）=2f（0），故f（0）=0，
同理可得f（1）=2f（ $\text{[math]}$ ），解得 $\text{[math]}$ ，
所以f（ $\text{[math]}$ ）=2f（ $\text{[math]}$ ），故 $\text{[math]}$ ，
由此可归纳出： $\text{[math]}$ （i=1，2，3，…）
（2）当 $\text{[math]}$ 时，取 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （i=1，2，3，…）
所以{a_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）令式中的x=0，代入可得f（0），再令x=1，可得f（ $\text{[math]}$ ），令x= $\text{[math]}$ 可得f（ $\text{[math]}$ ），归纳可得；
（2）由题意可得 $\text{[math]}$ ，由等比数列的求和公式可求和，取极限即可．
点评：本题考查归纳推理，以及数列的极限，属基础题．

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