Question

已知函数f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

+

3

cos

x

2

（1）求f（x）最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数 f（x）的解析式为 2sin（

x

2

+

π

3

），由此求得函数的周期T的值．再由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得
x的范围，可得函数的增区间．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，可得

π

3

≤

x

2

+

π

3

≤

7π

12

，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．

解答：解：（1）由于函数f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

+

3

cos

x

2

=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin（

x

2

+

π

3

），
可得周期T=

2π

1 2

=4π．
令 2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 4kπ-

5π

3

≤x≤4kπ+

π

3

，k∈z，
可得函数的增区间为[4kπ-

5π

3

，4kπ+

π

3

]，k∈z．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，

π

3

≤

x

2

+

π

3

≤

7π

12

，
故当

x

2

+

π

3

=

3

2

时，f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

） 取得最小值为

3

，
当

x

2

+

π

3

=

π

2

时，f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

） 取得最大值为2．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．