Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，则平面AB₁D₁与平面BC₁D的距离为（　　）

• A．

  2 a

  3

• B．

  2 a

  2

• C．

  3 a

  3

• D．

  3 a

  2

Answer 1

分析：连接A₁C，可以证明与面AB₁D₁与面BC₁D都垂直，设分别交于M，N，MN为平面AB₁D₁与平面BC₁D的距离． 可求CN=A₁M=

3

3

a，从而MN=A₁C-A₁M-CN=

3

3

a．

解答：解：连接A₁C，与面AB₁D₁与面BC₁D分别交于M，N．
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴CC₁⊥B₁D₁，又∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥平面A₁C₁C∴B₁D₁⊥A₁C，
同理可证AB₁⊥A₁C，又B₁D₁∩AB₁=B₁，∴A₁C⊥面AB₁D₁；
同理可证，A₁C⊥面BC₁D．∴MN为平面AB₁D₁与平面BC₁D的距离
∵△AB₁D₁ 为正三角形，边长为

2

a，三棱锥A1-AB₁D₁ 为正三棱锥，∴M为△AB₁D₁ 的中心，MA=

3

3

×

2

a=

6

3

a
A₁M=

A1A2-MA2

=

3

3

a，同理求出CN=A₁M=

3

3

a，又A₁C=

3

a，∴MN=A₁C-A₁M-CN=

3

3

a．
故选C．

点评：本题考查平行平面的距离计算，采用了间接法，转化为点面距离．本题中蕴含着两个结论①平面AB₁D₁与∥平面BC₁D．②平面AB₁D₁与平面BC₁D，将体对角线分成三等分．