Question

已知函数f（x）=ln（2+3x）+

m

2

x²在x=

1

3

处取得极值．
（1）求f（x）在[0，1]上的单调区间；
（2）若对任意的x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先判断函数的定义域，求函数的导数，根据当导数等于0时函数取到极值，求出m的值，再判断函数的单调性
（2）先求出函数的导数，再利用恒成立求a的取值范围

解答：解：（1）由题意得函数f（x）的定义域为{x|x＞-

2

3

}，
f′（x）=

3

2+3x

+mx=

3+2mx+3mx2

2+3x

，
又函数f（x）在x=

1

3

处取得极值，
∴f′（

1

3

）=0，即m=-3，
此时，f′（x）=

-3(x+1)(3x-1)

2+3x

．
∴在[0，1]上，当0≤x＜

1

3

时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当

1

3

＜x≤1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴f（x）在x=

1

3

处取得极大值．
∴f（x）在[0，1]上的单调递增区间为[0，

1

3

]，单调递减区间为[

1

3

，1]．
（2）∵f′（x）+3x=

3

2+3x

，
∴当x∈[

1

6

，

1

3

]时，ln[f′（x）+3x]∈[0，ln

6

5

]（当且仅当x=

1

3

时，ln[f′（x）+3x]=0）．
因此，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0恒成立的a的取值范围是（-∞，ln

1

3

）∪（ln

1

3

，+∞）．

点评：该题考查函数的求导以及利用导数球函数的单调性，利用恒成立求未知量的取值范围，注意先确定自变量的取值范围