Question

（2013•绍兴一模）已知

a

，

b

为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量

c

满足

c

+

a

=λ(

c

+

b

)（λ∈R），则|

c

|的最小值为

2

2

．

Answer 1

分析：由题意得

a

•

b

=0，故将

c

+

a

=λ(

c

+

b

)化简得（1-λ）

c

=λ

b

-

a

，再判断出λ≠1，求出

c

的表达式，再将此时两边平方并化简，再构造函数y=

λ2+1

(1-λ)2

，利用判别式法求出此函数的最小值，再开方后就是所求的最小值．

解答：解：由

c

+

a

=λ(

c

+

b

)得，（1-λ）

c

=λ

b

-

a

①，
∵

a

，

b

为平面内两个互相垂直的单位向量，
∴λ

b

-

a

≠

0

，即λ≠1，且

a

•

b

=0，且|

a

|=|

b

|=1，
由①得，

c

=

λ b - a

1-λ

=

λ b

1-λ

-

a

1-λ

，
将上式两边平方得，
|

c

|2=(

λ b

1-λ

-

a

1-λ

)2=(

λ

1-λ

)2×

b

2+(

1

1-λ

)2×

a

2=

λ2+1

(1-λ)2

，
令y=

λ2+1

(1-λ)2

=

λ2+1

λ2-2λ+1

得，（y-1）x²-2yx+y-1=0，此方程有实根，
由△=4y²-4（y-1）²≥0得，2y-1≥0，解得y≥

1

2

，
即|

c

|2≥

1

2

，即|

c

| ≥

2

2

，
则|

c

|的最小值为：

2

2

．

点评：本小题主考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时进行移项，向量求模的方法是根据模的平方等于向量的平方，考查了很少用的“判别式法求函数的最值”，难度较大．