题目内容

已知函数F（x）= $数学公式$ ，（x $数学公式$ ），
（I）求F（ $数学公式$ ）+F（ $数学公式$ ）+…+F（ $数学公式$ ）的值；
（II）已知数列{an}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求证数列{ $数学公式$ }是等差数列；
（III）已知b_n= $数学公式$ ，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

解：（I）因F（x）+F（1-x）= $\text{[math]}$ =3．------------------------------（2分）
所以设S=F（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+F（ $\text{[math]}$ ）…（1）
S=F（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+F（ $\text{[math]}$ ）…（2）
（1）+（2）得：2S=2009×[F（ $\text{[math]}$ ）+F（ $\text{[math]}$ ）]=3×2009=6027，
∴S= $\text{[math]}$ ．
（II）由a _n+1=F（a_n）两边同减去1，得a _n+1-1= $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ ．---------（7分）
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$
所以，{ $\text{[math]}$ }是以2为公差以1为首项的等差数列．----（10分）
（III）因为 $\text{[math]}$ ，
∴a_n=1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
因为b_n= $\text{[math]}$ ，所以a_nb_n= $\text{[math]}$ ------------------------------（12分）
S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ （3）
$\text{[math]}$ S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ （4）
由（3）-（4）得
$\text{[math]}$ S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
=2- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
所以S_n=4- $\text{[math]}$ -----------------------------（14分）
分析：（I）由题意可得F（x）+F（1-x）=3，所以设S=F（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+F（ $\text{[math]}$ ）倒序后相加即可得到结果．
（II）由a _n+1=F（a_n）两边同减去1，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ ，所以，{ $\text{[math]}$ }是以2为公差以1为首项的等差数列．
（III）利用条件可得a_nb_n= $\text{[math]}$ ，它是一个等差数列与等比数列积的形式，利用错位相减可求数列的和．
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点，要注意掌握