Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a，x∈R，且函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为3，
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由题意知f′（2）=3，求出a的值即可；
（2）先求导数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，解得的区间就是所求．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a，
∴f′（x）=x²+（1-a）x-a
又∵函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为3，
∴f′（2）=3，即2²+（1-a）×2-a=3，
解得a=1；
（2）由（1）得f′（x）=x²-1
∴当x＞1或x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0
因此，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1]、[1，+∞），单调减区间为（-1，1）．

点评：本小题主要考查导数的几何意义，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识，属于基础题．