题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若 $数学公式$ ，求a的值．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ ．
∴函数f（x）的最小正周期为2π，
∵正弦函数的递增区间为[2kπ- $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ]，即2kπ- $\text{[math]}$ ≤x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，
∴2kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，
则函数f（x）的递增区间为 $\text{[math]}$ （k∈Z ）；（6分）
（Ⅱ）根据题意得： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵0＜B＜π，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ． …（9分）
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴ $\text{[math]}$ ，即a²-3a+2=0，
故a=1或a=2． …（12分）
分析：（Ⅰ）利用两角差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，然后利用周期公式T= $\text{[math]}$ 即可求出f（x）的最小正周期；根据正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为函数f（x）的递增区间；
（Ⅱ）把x=B代入第一问求出f（x）的解析式，让其值等于- $\text{[math]}$ ，得到sin（B- $\text{[math]}$ ）的值，由B的范围求出B- $\text{[math]}$ 的范围，利用特殊角的三角函数值即可列出关于B的方程，求出方程的解得到B的度数，然后由b，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出a的值．
点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，以及余弦定理，灵活运用三角函数的恒等变换把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．