Question

如图，在边长为1的正方形OABC内取一点P（x，y），求：
（1）点P到原点距离小于1的概率；
（2）以x，y，1为边长能构成三角形的概率；
（3）以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率．

Answer 1

分析：（1）点P到原点距离小于1，则P位于以O为圆心、半径为1的圆内部，因此所求概率等于如图的扇形面积与正方形ABCO的面积之比，由此即可算出P到原点距离小于1的概率；
（2）以x、y、1为边长能构成三角形，则P位于的区域为如图的△ABC及其内部，因此用△ABC面积除以正方形ABCO的面积，即可得到以x、y、1为边长能构成三角形的概率；
（3）以x、y、1为边长能构成锐角三角形，则P位于的区域为正方形ABCO内部且位于以O为圆心、半径为1的圆外部，即如图的阴影部分，由此即可算出以x、y、1为边长能构成锐角三角形的概率．

解答：解：（1）若点P到原点距离小于1，则P位于以O为圆心、半径为1的圆内部

因此，点P到原点距离小于1的概率为P₁=

1 4 π×12

1×1

=

π

4

   （3分） 
（2）若以x，y，1为边长能构成三角形，
则有

x+y＞1 0≤x≤1 0≤y≤1

，
对应区域为正方形ABCO内部且位于直线AC上方，即△ABC及其内部，
因此以x、y、1为边长能构成三角形的概率为P₂=

S△ABC

SABCO

=

1

2

    （6分）
（3）以x，y，1为边长能构成锐角三角形，注意到最长的边等于1
可得

x+y＞1 x2+y2＞1 0≤x≤1 0≤y≤1

，
对应区域为正方形ABCO内部且位于以O为圆心、半径为1的圆外部，即如图的阴影部分
因此以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率为
P₃=

1×1- π 4

1×1

=1-

π

4

    （10分）
答：（1）点P到原点距离小于1的概率为

π

4

；
（2）以x，y，1为边长能构成三角形的概率为

1

2

；
（3）以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率为1-

π

4

．（12分）

点评：本题给出点P在以O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）为顶点的正方形内部运动，求以P的坐标x、y为两边，1为第三边能构成三角形的概率．着重考查了扇形面积公式、正方形面积公式和几何概型计算公式等知识，属于中档题．