Question

16．已知α、β∈（-$\frac{π}{4}$，0），且3sinβ=sin（2α+β），$\frac{4\sqrt{3}}{3}$tan$\frac{α}{2}$=tan²$\frac{α}{2}$-1，求α+β的值．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的三角公式求得tan（α+β）=2tanα；再利用二倍角的正切公式求得tanα的值，可得tan（α+β）的值，从而求得α+β的值．

解答 解：∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
即 3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
化简可得2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，故有tan（α+β）=2tanα．
再根据$\frac{4\sqrt{3}}{3}$tan$\frac{α}{2}$=tan²$\frac{α}{2}$-1，可得tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{α}{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴tan（α+β）=2tanα=-$\sqrt{3}$．
再根据α、β∈（-$\frac{π}{4}$，0），可得α+β∈（-$\frac{π}{2}$，0），可得α+β=-$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．