题目内容

设0（x）=cosx，f1（x）=
f
′
0
（x），f2（x）=f
 
′
1
（x），…，fn+1（x）=f
 
′
n
（x），n∈N*，则f2014（x）=（　　）
分析：由导数的运算求解前几个，可得周期为4的特点，可化f2014（x）=f2（x）
解答：解：∵f0（x）=cosx，∴f1（x）=f0′（x）=-sinx，
∴f2（x）=f1′（x）=-cosx，
f3（x）=f2′（x）=sinx，
f4（x）=f3′（x）=cosx
…
可得fn（x）的解析式重复出现，周期为4．
∴f2014（x）=f4×503+2（x）=f2（x）=-cosx，
故选C
点评：本题考查函数求导运算，得出周期性是解决问题的关键，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=
sinx
2+cosx
．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的x≥0，都有f(x)≤
1
3
x．
设f1（x）=cosx，定义fn+1（x）为fn（x）的导数，即fn+1（x）=f′n（x），n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2013（A）=0，则sinA的值是
1
1
．
设函数f(x)=
a2
x2+cosx-1(x∈(0，+∞))的导数为f′（x）．
（I）当a=1时，证明：f′（x）＞0；
（II）当a=1时，数列{an}满足：0＜a1＜1，且an+1=f（an），求证：0＜an+1＜an＜1；
（III）若y=f（x）的单调增函数，求正数a的取值范围．
设函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α）其中α是常数．
（1）设f（x）=cosx+sinx，α=
π
2
，求g（x）的解析式；
（2）设计一个函数f（x）及一个α（0＜α＜π）的值使得g（x）=
1
2
sin2x；
（3）设常数α=0，f（x）=
kx 
（0＜k＜1），并已知0＜x1＜x2＜
π
2
时，总有
sinx1
x1
＞
sinx2
x2
成立，当x∈( 0，
π
2
)时，试比较sin[g（x）]与g（sinx）的大小．

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