Question

已知函数f（x）=lg（x²-x-2），若?a、b∈（m，+∞），都有[f（a）-f（b）]（a-b）＞0，则实数m最小值是________．

Answer 1

2
分析：由?a、b∈（m，+∞），都有[f（a）-f（b）]（a-b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，则（m，+∞）为函数f（x）增区间的子集，根据复合函数单调性的判断方法求出f（x）的增区间，由集合包含关系可得m的范围，注意函数定义域；
解答：由x²-x-2＞0解得x＜-1或x＞2，
所以函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（2，+∞），
y=x²-x-2=在（-∞，）上递减，在（，+∞）上递增，
又x＜-1或x＞2，
所以y=x²-x-2的减区间为（-∞，-1），增区间为（2，+∞），
而y=lgu递增，
所以f（x）的减区间为（-∞，-1），增区间为（2，+∞），
由?a、b∈（m，+∞），都有[f（a）-f（b）]（a-b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，
所以（m，+∞）⊆（2，+∞），故m≥2，
所以实数m的最小值为2，
故答案为：2．
点评：本题考查函数单调性定义及复合函数单调性的判断，复合函数单调性的判断方法为“同增异减”．