题目内容
【题目】已知函数
，其中
是自然对数的底数.
若
，求函数
的极值；
若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围。
【答案】（I）函数
有极小值
，无极大值. （II）
.
【解析】
（I）先求导数，再求导函数零点，最后根据导数符号确定极值，（II）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，最后根据单调性确定最小值，进而确定实数
的取值范围.
由题意得，
，则
，
令
，解得
，令
，解得
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故当
时，函数有极小值，无极大值.
（II）令
，
则
.
令
，则
，
易得
在
上单调递增，
，
则
在上单调递增，
.
当
，即
时，
在上恒成立，
则
在上单调递增，
，满足题意；
当
时，
，当
时，
，
又在上单调递增，
，使得
，
当
时，
，
函数在
上单调递减，
，不满足题意.
综上所述，实数的取值范围是
.
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