Question

已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=log_a（1-a^x），
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；
（Ⅱ）若n∈N*，求；
（Ⅲ）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1-e^f（x））（x²-m+1），若函数h（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知，
当时，f（x）的定义域为；当a＞1时，f（x）的定义域为，
，
当时，x∈，
因为，故f′（x）＜0，所以f（x）是减函数；
当a＞1时，x∈，
因为，故f′（x）＜0，所以f（x）是减函数；
（Ⅱ）因为，所以，
由函数定义域知＞0，
因为n是正整数，故0＜a＜1，
所以；
 （Ⅲ），
所以，
令h′（x）=0，即，由题意应有△≥0，即m≥0，
①当m=0时，h′（x）=0有实根x=-1，在x=-1点左右两侧均有，故无极值；
②当0＜m＜1时，h′（x）=0有两个实根，
当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表所示：

∴h（x）的极大值为，h（x）的极小值为；
③当m≥1时，h′（x）=0在定义域内有一个实根，，
同上可得h（x）的极大值为；
综上所述，时，函数h（x）有极值，
当0＜m＜1时h（x）的极大值为，h（x）的极小值为；当m≥1时，h（x）的极大值为。